Himpunan (set)

Himpunan (set)

        

·      Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

·      Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 1.

-  Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.     

-  Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.            

-  C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

-  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

-  C  = {a, {a}, {{a}} }

-  K  = { {} }                                                                                                              

-  Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }             

-  Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.                                                                                                  

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 2.

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4},  R  = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

       K  = {{}}

maka

3    A

5    B

{a, b, c} Î R               c Ï R               {} Î K             {} Ï R                                                                                                            

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}}, maka

                  a Î P₁

            a Ï P₂                                  P₁ Î P₂            P₁ Ï P₃                        P₂ Î P₃                                                                                                                       

2. Simbol-simbol Baku

P =  himpunan bilangan bulat positif  =  { 1, 2, 3, ... }

N =  himpunan bilangan alami (natural)  =  { 1, 2, ... }

Z =  himpunan bilangan bulat  =  { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q =  himpunan bilangan rasional

R =  himpunan bilangan riil

C =  himpunan bilangan kompleks

·         Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3.   Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }      

Contoh 4.

(i)  A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

       A = { x | x  adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari  5}

 atau

 A  =  { x | x  P, x < 5 } 

     yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii)  M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}             

4. Diagram Venn

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Kardinalitas

·           Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

·           Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 6.

(i)   B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

          atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii)  T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii)  A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3                                                                                                                  

 

Himpunan Kosong

·           Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

·           Notasi : Æ atau {}

Contoh 7.

(i)   E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii)  P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0            

·           himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

·           himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

·           {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

Himpunan Bagian (Subset)

·           Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

·           Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

·           Notasi: A  Í B

·           Diagram Venn:

            Contoh 8.

(i)  { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}         

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  ³, y  ³ 0 } dan

       B = { (x, y) | 2x + y < 4,  x  ³ 0 dan y  ³ 0 },  maka B A.