Kisi-Kisi Materi Soal Olimpiade Matematika

1.        Relasi dan Fungsi linear dalam pemecahan masalah

A.  RELASI

1. Pengertian Relasi

Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.

Misalnya :

   A = { 2, 3, 5 }                           

   B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

   2 adalah faktor dari 4

   2 adalah faktor dari 10

         2 adalah faktor dari 14

         5 adalah faktor dari 10

R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B bhb. R  A x B

Jika (x,y) Î R, maka dikatakan bahwa ”x berelasi dengan y” (ditulis ”xRy”). Jika R adalah suatu relasi dari B ke A dengan R = {(y, x) (x,y) Î R}, maka jelaslah bahwa R  B x A

Contoh :

         A = { -3, 3, 4, 7, 10 }                            

         B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Relasi “berselisih 2 dengan” antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B dapat disajikan sebagai himpunan bagian dari A x B, yaitu :

R = { ( x,y ) xÎ A, yÎ B,  = 2 }

    = { (3,5), (4,2), (4,6),(7,5),(10,8) }  A X B

         ( 4,6 ) Î R, maka dikatakan bahwa “ 4 berelasi dengan 6 “ ( 4 berselisih 2 dengan 6 )   atau 4R6.

R = { (5,3),(2,4),(6,4),(5,7),(8,10)}

B. Fungsi

1. Pengertian Fungsi

Antara anggota-anggota dari suatu himpunan dapat terjadi suatu relasi dengan anggota-anggota dari himpunan yang lain. Misalnya antara anggota-anggota himpunan semua pria dengan anggota-anggota semua wanita dapat diadakan relasi “ suami “.

Secara matematis suatu relasi R antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari produk Cartesius kedua himpunan itu.

R  A x B.

Misalnya : A = { 1, 3, 5 } dan B = { 2, 0, 4 }, maka relasi ”lebih kecil” antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B dapat disajikan dengan: R = { (1, 2), (1, 4), (3, 4) } A x B.

Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B disebut Fungsi (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

A. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi konstan jika bayangan semua anggota A adalah satu anggota yang sama dari B.

      f : A  B adalah fungsi konstan bhb  (!cÎB) (xÎA) . f ( x ) = c

B. Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi indentitas jika bayangan dari setiap anggota dari A ialah dirinya sendiri. ( Daerah asal dan saerah kawan dari suatu fungsi identits adalah himpunan yang sama ).

      f : A  A adalah fungsi indentitas bhb.(xÎA). f ( x ) = x

   Jelaslah bahwa suatu fungsi identitas adalah fungsi yang bijektif.

2.        Sistem persamaan linear dalam pemecahan masalah

Bentuk-bentuk persamaan tersebut memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk persamaan seperti inilah yang dimaksud dengan linear satu variabel.

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, untuk penyelesaian dari persamaan linear satu variabel dapat digunakan beberapa cara. Salah satu di antaranya dengan sifat kesamaan. Perhatikan uraian persamaan berikut.

Jadi, diperoleh nilai x = 4 dan himpunan penyelesaian, Hp = {4}. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.2 berikut.

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan-permasalahan yang dapat dipecahkan menggunakan SPLDV. Pada umumnya, permasalahan tersebut berkaitan dengan masalah aritmetika sosial. Misalnya, menentukan harga satuan barang, menentukan panjang atau lebar sebidang tanah, dan lain sebagainya.

3.        Persamaan/pertidaksamaan kuadrat dalam pemecahan masalah

v  Pengertian Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Dimana a, b, c є R dan a ≠ 0.

 

   Koefisien x²    konstanta

       Koefisien x

Bentuk Lain Persamaan Kuadrat :

 

Dengan demikian persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x         

v  Cara- cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

a.       Memfaktorkan

untuk bentuk ax² + bx + c = 0), maka kalian harus menentukan dua buah bilangan yang jumlahnya  b dan hasil kalinya c

b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

     ialah mengubah suatu bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Misalnya x² – 2x diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna x² – 2x + 1 = (x - 1)

c.       Menggunakan rumus kuadrat

                                                                        Dengan b² – 4ac  ≥

           

 

Nilai diskriminan (D)

Jika b2 – 4ac  < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki penyelesaian

Jika b2 Jika b2 – 4ac  = 0 maka persamaan kuadrat memiliki tepat satu penyelesaian

Jika b2 – 4ac  > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian

v    Menyusun Persamaan Kuadrat

(x -  x1) (x – x2) = 0

Untuk akar-akar sebuah persamaan yang telah diketahui.

Ø  Memakai faktor  :                                                      

Ø  Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

Diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc

x₁ + x₂ =  -b  + √ b2 – 4ac   +  - b  - √ b2 – 4ac  

         2a                              2a

                  =   -2b       

                                     2a

                              =     -b

                                      a

   x₁ x x₂  =  -b  + √ b2 – 4ac   x  - b  - √ b2 – 4ac  

                              2a                           2a

                              =  b² – (b² – 4 ac)

                                    4a²

                              =  4ac

                                  4a²

                              =  c

                                  a

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0

                                   

Sehingga dapat dinyatakan

   Contoh 1 :

☺        Bagaimana merubah persamaan 2x² = 3x - 8 ke dalam bentuk umum???

            Penyelesaian :  2x² = 3x – 8

                        <=>     2x²  - 3x =  3x-3x -8    (kedua ruas dikurangi 3x)

                        <=>     2x² – 3x = -8

                        <=>     2x² - 3x  + 8 = -8 + 8 (kedua ruas ditambah 8)

                        <=>     2x² – 3x +  8 = 0

                  Jadi a  = 2, b = - 3 dan c = 8

Contoh 2 :

Cara memfaktorkan

      Contoh :          x² – 5 x + 6 = 0

                           <=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

                           <=> x- 2 = 0 atau x - 3 = 0

                           <=> x = 2     atau x = 3

                           Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

Contoh 3

Cara Melengkapakan Kuadrat

Contoh :          Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :         x² + 2x – 15 = 0

                        x² + 2x = 15

Agar x² + 2x menjadii bentuk kuadrat sempurna, harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien x + (½ x 2)² = 12 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

            x² + 2x + 1 = 15 + 1

                        <=>     (x + 1)² = 16

<=>     x + 1 = ± √16

<=>     x + 1 =  ± 4

<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=>     x = 4 - 1 atau x = -4 -1

<=>     x = 3 atau x = -5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

Contoh 4

a.       Menggunakan rumus kuadrat

            Menentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0

           

                                                                                    

                                                                                      a =1   b = 4   c = -12

            penyelesaian

            x_1,2 = - b ± √b² – 4ac

                            2a

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √42 – 4 x 1x (-12)

                                    2 x 1

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √16 + 48

                                2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± √64

                            2

           

<=>     x_{1,2 =}  - 4  ± 8

                            2

<=>     x_{1,2 =}  - 4  +  8            atau        x_{1,2 =}  - 4   -  8          

2                                                                                        2

<=>     x₁ = 2                        atau       x₂ = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-6, 2}

4.        Aritmatika

5.        Geometri dan pengukuran

6.        Statistika dan peluang

a.         Statistik, Populasi, dan Sampel

     1).   Statistik dan Statistika

            Statistik adalah suatu angka yang memberikan gambaran tentang masalah/ kondisi suatu obyek.

            Misalnya :     Nilai rata-rata ujian Nasional mata pelajaran Matematika adalah 63,73

                                 Kelulusan ujian suatu sekolah 75 %

                                 Statistik kecelakaan lalu lintas di Indonesia termasuk tinggi

            Statistika adalah suatu ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara pengumpulan data, penyusunan/penyajian  data, pengolahan/penghitungan data, Menganalisa data, dan penarikan kesimpulan secara rasional

     2).   Populasi dan Sampel

            Populasi adalah keseluruhan obyek yang diteliti.

            Sampel (contoh) adalah sebagaian dari populasi benar-benar diteliti.

     3).   Datum dan data

Data adalah bentuk jamak dari datum.

Datum adalah keterangan dalam bentuk angka atau lambang yang dihimpun dari suatu pengamatan.

Data dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu :

a).        Data Kuantitatif

     Data kuantitatif adalah data yang berupa bilangan.

     Data kuantitatif dapat dikelompokkan lagi menjadi :

     1.         Data ukuran = data kontinu

            adalah data yang diperoleh dari pengukuran.

Misalnya :  Data tentang hasil pengukuran tinggi badan, suhu badan, nilai ulangan, dsb.

2.  Data cacahan = data diskrit

                                          adalah data yang diperoleh dari membilang.

Misalnya : -    Data tentang banyaknya pengunjung suatu pameran tiap hari.

                   -    Data tentang banyaknya kendaraan roda empat ke atas yang melewati suatu jalan tiap menit.

            b).  Data Kualitatif

          Data kualitatif adalah data yang berupa kualitas suatu obyek

Misalnya :     -     Data tentang benda-benda yang rusak, baik.

-      Data tentang orang-orang yang : berhasil, gagal, senang, gemar, puas, dsb.

1.2.       Pengumpulan data

1).     Pengumpulan data

         Dalam mengumpulkan data dapat menggunakan metode :

         a).  Metode sensus, yaitu mengumpulkan data dari setiap anggota populasi yang diteliti.

         b).  Metode sampling, yaitu mengumpulkan data dari sebagian anggota populasi yang diteliti.

         Pengumpulan data dapat dilakukan dengan metode :

         a).  Studi Pustaka/literatur/internet

         b).  Penelitihan lapangan : tes, pengamatan, pengukuran, angket, wawancara.

2).     Pembulatan

         Khusus untuk data yang berupa bilangan hasil suatu pengukuran, sering dijumpai nilai-nilai yang tidak teratur sehingga mempersulit pengolahannya. Oleh karen itu perlu dilakukan suatu pembulatan sesuai dengan keperluan sehingga diperoleh data yang nilai-nilainya teratur mempermudah dalam analisanya.

         Ada tiga cara untuk membulatkan suatu bilangan, yaitu :

         a).  Pembulatan ke satuan terdekat

         b).  Pembulatan ke banyaknya angka desimal

         c).  Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

         Bentuk umum bilangan pada suatu data :               ,   

         Keterangan :

         a    disebut angka satuan                        Banyaknya tempat desimal                

         b    disebut angka puluhan                     p          disebut satu tempat desimal

         c    disebut angka ratusan                      q          disebut dua tempat desimal

         d    disebut angka ribuan                        r           disebut tiga tempat desimal

         e    disebut angka puluhan ribu, dst                  

Contoh-1 :

Bilangan 98765, 234     

         angka satuannya adalah ....                    Banyaknya tempat  desimal :

         angka puluhannya adalah ....                  2 disebut ....    tempat desimal

         angka ratusaanya adalah ....                   3 disebut ....     tempat desimal          

         angka ribuannya adalah ....                    4 disebut ....    tempat desimal

         angka puluhan ribunya adalah ....

         a).  Pembulatan ke satuan terdekat

               Aturan :    *  Jika angka setelah angka satuan lebih dari atau sama dengan 5, maka angka satuannya ditambah satu.

                              *    Jika angka setelah angka satuan kurang dari 5, maka angka dibelakang angka satuan dihilangkan.

               Contoh 2 :

               Bulatkan bilangan-bilangan berikut  ke satuan terdekat :

               a.   35,4                                b.         172,54                                     c.         7,635

               Jawab :

               Pembulatan ke satuan terdekat :

               a.   35,4 dibulatkan menjadi ....                                          

               b.   172,54 dibulatkan menjadi ...                                       

               c.   7,635 dibulatkan menjadi ....

         b).  Pembulatan ke banyaknya angka desimal

               Contoh 3 :

               Bulatkan 23,7362802 ke :

               a.   satu tempat desimal                   d.         empat tempat desimal

               b.   dua tempat desimal                    e.         enam tempat desimal

               c.   tiga tempat desimal

               Jawab :

               23,7362802 dibulatkan ke :

               a.   satu tempat desimal menjadi ....            

               b.   dua tempat desimal menjadi ...                         

c.       tiga tempat desimal menjadi ... 

d.      empat tempat desimal menjadi ....

e.       enam tempat desimal menjadi ...

         c).  Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

                     Untuk menyatakan ketelitihan suatu ukuran dapat menggunakan banyaknya angka yang dipakai (banyaknya angka signifikan). Banyaknya angka signifikan adalah banyaknya angka yang dimulai dari angka terdepan yang tidak nol.

               Contoh 4 :

Ø  3,40 m artinya ukuran sampai ketelitihan perseratus meter.

      Jadi, 3,40 mempunyai 3 angka signifikan.

Ø  0,0540 km artinya ukuran sampai ketelitihan persepuluhribu kilometer.

      Jadi, 0,0540 mempunyai 3 angka signifikan.

3).     Pemeriksaan Data

            Sebelum mengolah suatu data hasil penelitihan perlu diadakan pemeriksaan secara keseluruhan untuk menghindari keraguan data yang diperoleh. Mungkin ada kesalahan pada alat ukurnya, kurang teliti dalam membaca alat ukurnya, kesalahan pencatatannya, dan sebagainya  sehingga diperoleh data yang tidak meragukan kebenarannya.

7.        Transformasi geometri

1. TRANLASI

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

·   Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

·   Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai  

·   Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi  , diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ^’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan  maka diperoleh bayangannya  . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan Didapat,  Perhatikan bahwa  

Ini berarti  diperoleh dengan mentranslasikan   dengan  Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulis sebagai  

Oleh karena  dan  maka

Akibatnya, titik   ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2 menghasilkan bayangan   sebagai berikut

Sifat:

·         Dua buah translasi berturut-turut  diteruskan dengandapat digantikan dengan translasi tunggal

·         Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh:

1.      Translasi memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a.       Tentukan translasi tersebut !

b.      Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C(-5, 6) oleh translasi tersebut.

c.       Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan Tentukan bayangannya!

d.      Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2  ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?

Jawaban

a.

            Diperoleh        1+p = 4 sehingga p = 3

                                    2+q = 6 sehingga q = 4

            Jadi translasi tersebut adalah

b. translasi  artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(-2,10)

c.

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

d.    translasi titik

     

     

     

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.  

2.      Tentukan bayangan lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 jika ditranslasikan !

Jawab

Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)² + (y+1)² = 4 sehingga diperoleh (a-3)² + (b+1)² = 4

Translasikan titik P dengan   sehingga diperoleh

Jadi titik P'(a-5, b+2)

Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5.

b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat  b = b' - 2.

Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan

Diperoleh (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4

                  (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

Jadi bayangan dari (a'+ 5-3)² + (b' - 2+1)² = 4 jika ditranslasikan denganadalah (a'+ 2)² + (b' - 1)² = 4

2. REFLEKSI

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

• Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

• Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

• Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Refleksi	Rumus	Matriks
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap garis x=k
Refleksi terhadap garis y=k
Refleksi terhadap titik (p,q)	Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k

3. ROTASI

Rotasi	Rumus	Matriks
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α

Keterangan

α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam

α - : arah putaran searah putaran jarum jam

4. DILATASI

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

• Jika k $ _ 1 atau k 0 1, maka hasil dilatasinya diperbesar

• Jika _1 $ k $ 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

• Jika k _ 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi	Rumus	Matriks
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

5. KOMPOSISI TRANSFORMASI DENGAN MARIKS

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri

Transformasi	Rumus	Matriks
Identitas
Translasi
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap garis x=k
Refleksi terhadap garis y=k
Refleksi terhadap titik (p,q)	Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 180˚
Refleksi terhadap titik pusat (0,0)
Refleksi terhadap garis y=mx,m=tan α
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k

Komposisi transformasi

1. komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi   dan . Jika translasi  dilanjutkan translasi  maka dinotasikan ”” dan translasi tunggalnya adalah T=T₁+T₂=T₂+T₁(sifat komutatif).

2. komposisi dua refleksi berurutan

a.      refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x'=2(b-a)+x

y'=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah  yaitu:

x'=x

y'=2(b-a)+y

b.      refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah   sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

c.       refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah   dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan

d.      sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).

3. rotasi berurutan yang sepusat
1. Diketahui rotasi R₁(P(a,b),α) dan R₂(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R₁ dilanjutkan R₂ adalah rotasi R(P(a,b),α+β)
2. Rotasi R₁ dilanjutkan R₂ sama dengan rotasi R₂ dilanjutkan R₁
4. komposisi transformasi

Diketahui transformasi  maka transformasi tunggal dari transformasi:

1. T₁ dilanjutkan T₂ (T₂ ◦ T₁) adalah T=T₂ . T₁
2. T₂ dilanjutkan T₁ (T₁ ◦ T₂) adalah T=T₁ . T₂

Catatan T₁ . T₂ = T₂ . T₁

5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi !

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

            P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

            P'(y,x) ditranslasi  . Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

             Jadi     x'' = y +3 → y = x''-3

                        y'' = x +2 → x = y'' -2

                        persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

                                                            -4y''  + 8 +  x'' – 3 = 5

                                                                        x'' - 4y''= 0

            jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. luas bangun hasiltranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

1. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.
2. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k² +L

8.        Logika/penalaran

9.        Penggunaan media dan sumber belajar